y＝根号x在x等于0处存在极限吗？如果不存在的话y＝根号x怎么能是连续的呢？ - @GGapa

如果考试或题目里直接问 $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$ 是否存在，且没有特殊说明，严格的标准答案通常是不存在，因为左极限无意义。但在讨论函数的连续性时，因为 $0$ 是定义域的端点，我们通常默认只要右极限等于该点的函数值（即 $0$ ），就认为函数在 $x=0$ 处是右连续的。

根据极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，必然存在一个 $\delta > 0$ ，使得当 $x$ 满足：

$0 < |x - 0| < \delta$

时，恒有 $|\sqrt{x} - L| < \varepsilon$ 成立。现在，我们取一个符合上述条件的负数，例如 $x_1 = -\frac{\delta}{2}$ ：

检查自变量条件： $|x_1| = |-\frac{\delta}{2}| = \frac{\delta}{2}$ ，这显然满足 $0 < |x_1| < \delta$ 。
检查函数值：既然 $x_1$ 在该区间内，那么根据定义，此时它的函数值应该满足 $|\sqrt{x_1} - L| < \varepsilon$ 。

导致矛盾： 然而，当 $x_1 = -\frac{\delta}{2}$ 时， $\sqrt{x_1} = \sqrt{-\frac{\delta}{2}}$ 在实数范围内根本没有定义。一个没有定义、不存在的表达式，是无法参与大小比较（ $|\sqrt{x_1} - L| < \varepsilon$ ）的。

结论假设不成立。因为在 $0$ 的左侧去心邻域内函数无定义，导致极限定义中的不等式直接失效，所以通过定义可以严格证明： $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$ 不存在。

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